關(guān)于傅立葉變換，無(wú)論是書(shū)本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過(guò)抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解。

   那么，到底什么是傅里葉變換算法列?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復(fù)雜列?
傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來(lái)命名以示紀(jì)念。
 

   傅里葉變換原來(lái)就是一種變換而已，只是這種變換是從時(shí)間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。這下，你就知道了，傅里葉就是一種變換，一種什么變換列?就是一種從時(shí)間到頻率的變化或其相互轉(zhuǎn)化。

   ok，咱們?cè)賮?lái)總體了解下傅里葉變換，讓各位對(duì)其有個(gè)總體大概的印象，也順便看看傅里葉變換所涉及到的公式，究竟有多復(fù)雜：

   首先知識(shí)點(diǎn)先排除，什么是正余弦波，首先，直角三角形中，∠C=90°；任意一銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，也就是sinA=a/c。∠A的余弦是它的鄰邊比三角形的斜邊，所以co sA=b/c。

   其中  K(t,u) 就是積分變換的核 （kernel）。這個(gè)積分變換的“物理含義”就是， f(t) 在核函數(shù)的復(fù)共軛這一組正交基上的展開(kāi)系數(shù)。為什么呢？如果大家學(xué)過(guò)一點(diǎn)線性代數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)積分變換具有內(nèi)積的形式。將 u' 看作參數(shù)，如果  K(u',t) 和  K(u,t) 正交，則積分變換無(wú)非是給出了向量 \vec 在基函數(shù)  K^*(t,u)  上投影 / 分量的通式。要注意的是，這里的基函數(shù)不是  K(t,u) 而是  K^*(t,u) 。這是因?yàn)椋瑑?nèi)積的結(jié)果是一個(gè)“數(shù)”而不是向量，所以作為向量的兩個(gè)被乘函數(shù)必須有一個(gè)要被取復(fù)共軛（相當(dāng)于轉(zhuǎn)置）。以上推理從內(nèi)積的狄拉克括號(hào)表示的角度看很容易理解： (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle  ——左矢括號(hào) \langle | 自帶轉(zhuǎn)置效果，要符合原定義則 bra 內(nèi)必須是 K^* 。

   在以上的討論中我提到了向量 \vec ，那它與函數(shù) f(t) 又是什么關(guān)系呢？不妨想象一下普通空間的三維矢量 \vec\equiv(a,b,c) ，其中的 a,b,c 也無(wú)非是向量 \vec 在  \vec,\vec,\vec 基矢上的展開(kāi)系數(shù)。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)寫(xiě)出一個(gè)矢量在所有基矢量方向的展開(kāi)系數(shù)以及所有基矢量的方式*確定一個(gè)向量。如果把任何一個(gè)函數(shù)的自變量的任意一個(gè)（或者一組，對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)）可能的取值看作一個(gè)基矢，函數(shù)值看作展開(kāi)系數(shù)，那么，任何函數(shù)都可以看作是一個(gè)向量的一個(gè)具體表示。當(dāng)然了，如果仔細(xì)推導(dǎo)一下，函數(shù) f(x) 的一組正交基實(shí)際上是 \delta(x) （狄拉克 \delta  函數(shù)）。
 

   傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，更是一種可以*顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深?lèi)和唇^。老實(shí)說(shuō)，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫(xiě)得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？）所以我一直想寫(xiě)一個(gè)有意思的文章來(lái)解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。至于對(duì)于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻，仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。